有一个经典的小学数学题，小孩买糖。形式很多，我举一个粒子。
(资料图)
小孩有10块钱。糖1块钱1颗。每3张糖纸可以兑换1颗糖。问小孩能吃到多少糖。
引导小学生做题时，要一步一步来。
第一步。花10块钱买10颗糖，吃完了剩10张糖纸。
第二步。10张糖纸拿出9张换3颗糖，吃完了剩4张糖纸。
第三步。4张糖纸拿出3张换1颗糖，吃完了剩2张糖纸。一共吃了14颗糖。
一般到这里就可以结束了，但是比较聪明的小孩的话会有下一步。
第四步。问店老板借1张糖纸，和原本持有的2张糖纸一起换1颗糖。吃完了糖把糖纸还给店老板。这样一共是15颗糖。
能想到第四步的，也就接近了这道题的本质。1块钱买的糖里其实包含了1颗糖果和张糖纸。因为糖纸可以兑换成糖果，所以糖纸可以看成是找零。然后就可以去计算真正的糖果的价值。
为了方便书写，下面糖果用c表示，糖纸用s表示。
2个未知数就需要2个独立的方程。
首先根据定价，可以写出第一个方程。
然后根据糖纸的兑换规则，写出第二个方程。
然后就可以解出，c=2/3，s=1/3。
也就是说糖果的单价是2/3块钱，那么10块钱自然就能得到15个糖果。
所以，这题的本质是一个二元一次方程组的问题。可以将它一般化。
假设糖的单价是p，每n张糖纸可以兑换1颗糖。拥有的钱是m 。能吃到的糖果是d颗。
其中，p和m>0 ，而且为了符合实际情况，p和m应该是整数或有限小数。而n需要大于1的整数（否则就得到无穷多的糖果）。
当然，如果d的计算结果不是整数，需要向下取整。
像这样的问题，具体化的可以作为小学的思考题，一般化的可以作为初中的普通题。
不过，这种一般化的计算会存在一个漏洞，后面会讲到。
如果将问题再复杂化一些，就是小孩买啤酒问题。
大概是这样：
家里来客人了，爸爸差遣儿子去买些啤酒来招待，给了他m块钱。儿子到了店里，看到啤酒p块钱1瓶。并且i个酒瓶能换1瓶啤酒，j个瓶盖也能换1瓶啤酒。那么孝顺的儿子能让爸爸和客人们喝到多少啤酒？
因为啤酒=酒+酒瓶+瓶盖，所以本质和买糖问题一样，只是未知数多了一个，是个三元一次方程组问题。
我们定义酒的单价是b，酒瓶的单价是g，瓶盖的单价是c
根据啤酒的单价和兑换规则就能写出3个独立的方程：
酒的总量L就是：
然后我们看一个实例。假如钱是20块，啤酒4块钱1瓶，3个酒瓶换1瓶啤酒，6个瓶盖换1瓶啤酒。代入计算可得10瓶酒。
但是如果实际推演一下的话，就会出现漏洞。
第一步。花完29块钱买到5瓶啤酒。此时得到5酒，剩余5瓶+5盖。
第二步。用3个酒瓶换1瓶啤酒。此时得到6酒，剩余3瓶+6盖。
第三步。用3个瓶盖+6个瓶盖换2瓶啤酒。此时得到8酒，剩余2瓶+2盖。
第四步。借1个酒瓶，与持有的2个酒瓶一起换1瓶啤酒，然后归还1个酒瓶。此时得到9酒，剩余0瓶+3盖。
到这里似乎已经停止了，那么第10瓶酒如何来呢？这里就是漏洞所在，因为之前设计规则的时候没有排除“组合付款”的情况。
比如在这个实例里，酒瓶的价值是瓶盖的2倍。所以如果去借1个酒瓶+1个瓶盖之后，1瓶+4盖的价值在数学上与3瓶或6盖相当，可以“组合付款”兑换1瓶啤酒，然后归还1个酒瓶+1个瓶盖。
上面的买糖问题也一样，可能会出现现金+糖纸的组合付款方式。
但是我想现实世界中绝大多数商家都不会允许这种兑换方式。
那么如果考虑禁止组合付款的情况该如何一般化呢？
还是用上面买啤酒的例子。假如最后能得到l瓶啤酒，那么能够用来交换啤酒的有m块钱，L个酒瓶和L个瓶盖。并且这3种交换相互独立，于是就有：
成立。
int（x）是excel中向下取整的函数，这里拿来套用。
因为有向下取整的存在，不是很好计算。但是l的范围还是很容易确定的。L的值至少是只用钱能买到的量，但最大不超过允许组合付款时的量。也就是Lmin和Lmax是很好计算的。限定范围以后，因为l值会比较接近Lmax，所以从Lmax开始逐个尝试就可以了。
没错，本质上这还是在推演，只不过从顺推变成倒推。而且，步数大大下降了。
我写了一个可以在excel上运行的VBA代码来实现这个推演。用的具体数值就是上面案例里的。运行结果为9 。
Sub buybeer()
Dim m As Double
Dim i As Double
Dim j As Double
Dim p As Double
Dim L As Long
Dim Lmax As Long
Dim Lmin As Long
‘这里定义计算需要的变量
m = 20
i = 3
j = 6
p = 4
‘设置初始变量
Lmin = Int(m / p)
Lmax = Int(m / p / (1 - 1 / i - 1 / j))
‘计算上下限
For L = Lmax To Lmin Step -1
If Int(m / p) + Int(L / i) + Int(L / j) = L Then
Exit For
End If
Next L
‘从最大值开始，检查到满足规则的值时跳出的for循环
Cells(1, 1).Value = L
‘将结果输出到A1单元格
End Sub
